范珏打开一看,是一道很经典的几何题:如图,三角形ABC中,AB=AC,E在AB上,D在AC上,∠BAC=20°,∠DBC=60°,∠ECB=50°,求∠EDB。贴吧经常有人拿这道题来钓鱼,为了装B,他链接上了一个手写板,开始做题。
“给你提供8种方法啊,这道题曾经被大师彭翕成专门写文章分析过,很有意思的一道题。我抽的这本书里好像有,但是我忘掉在那一页了,凭借记忆我来复述一下啊。”
范珏首先画上了一个三角形,把点标明白,把条件标在图上。边说边写,“解法1,直接利用正弦定理,我们得先找到一些关系,角BAC是20度,那么角ABC就是80度,角ECB和角BCE都是50度,也就是说BC=BE。”
范珏用红线描出BC和BE。
“然后我们就利用正弦定理,设角EDB=x啊,sin(160-x)/sin(x)=BD/BE=BD/BD=sin80/sin40,式子列出来了,一个等式一个未知数,解得x=30,旁边写个草稿给你们看看30是怎么解出来的。”
在第一种解法旁边,范珏划拉出一个小地方,写上过程,sin(20+x)=2cos40sinx,然后往下推导,sin20cosx+cos20sinx=2(cos60cos20+sin60sin20)sinx,cos20sinx项抵消,剩下sin20cosx=2sin20sin60sinx,约掉sin20,剩下tanx=3^(-1/2),x=30。
“第二个方法是沿D做一条BC的平行线,交AB于F,连接FC,交BD于G,再连接GE。构造出三个等边三角形。”
范珏描出第一个等边三角形。
“非常显然,三角形BCG是一个等腰三角形,然后角DBC是60度,所以三角形BCG是一个等边三角形,就有BE=BC=EG。”
范珏描出第二个等边三角形。
“三角形BFG是个等腰三角形,可以得知角EFG是150度。”
“同时,三角形BCE是个等腰三角形,我们可以得出角CFE是15度,也就是说三角形EFG等腰,EF=EG。”
“三角形BCG等边,三角形DFG和他相似”
第三个等边三角形。
“所以有DF=DG,四边形DFEG是筝形,DE平分角FDG,得出角EDB=1/2角FDB=30度。”
“第三个方法是沿D做一条BC的平行线,交AB于F,连接FC,交BD于G,再过B做AC的平行线交DF于H,连接EH。构造平行四边形”
范珏把辅助线用虚线连上,再用蓝色笔勾勒出了大平行四边
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